Edge groups

题目大意

给定一张$n(3\le n \le 10^5)$个节点的树($n$为奇数),将这$n-1$条边两两分组,

要求:分到同一组的边有相同的顶点。

求一共有多少种方法。结果对$998244353$取模

原题地址

思路

假设第一个节点是父节点。

可以发现以下规律:

• 对于一个节点$u$的子节点$v$,如果$v$的“可供使用”的边数(除去与$u$相连的)为偶数,那么与$u$相连的这条边对于$u$来说,就是“可供使用”的了。(“可供使用”的意思就是可以与这个节点上的其它节点结合)。
• 对于一个节点$u$的子节点$v$,如果$v$的“可供使用”的边数(除去与$u$相连的)为奇数,那么与$u$相连的这条边就要用来与$v$相连的边组合,否则就无法成功分配。

那么对于每个节点可供使用的边,如果是偶数,那我们就两两分组,如果是奇数,那么我们留下与父节点相连的边,剩下的两两分组。

那么$n$($n$为偶数)个数两两分组的计算方式:

$$\frac{C_n^2 + C_{n-2}^2 + …C_2^2}{A_{n/2}^{n/2}}$$
经过一番高强度化简之后得:
$$(n-1) * (n - 3) * … 3 * 1$$

那么剩下就是解决可供使用的边的问题了,该如何计算呢？

这个“可供使用”的边是一个“递归”定义的,我们只看一个点和它的边,是没有办法看出来它那些边是可以使用的,必须看它的子节点的可以使用的边，而它的子节点又和子节点的子节点有关系…

所以我们就用类似树形DP的方法,从根节点开始dfs:

那么边界条件:叶子节点没有可供使用的边,所以也算偶数,那么它和父节点相连的这条边,就可以被父亲节点使用。

那么剩下的就一直按照最开始分析的计算即可。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const long long Mod = 998244353;
const int maxN = 1e5 + 7;

int n, d[maxN];
vector<int> e[maxN];
long long f[maxN];

bool dfs(int x, int fa)
{
    int cnt = 0;
    f[x] = 1;
    for(int i = 0; i < e[x].size(); ++i) {
        int y = e[x][i];
        if(y == fa)
            continue;
        if(!dfs(y, x))
            cnt++;
        f[x] = f[x] * f[y] % Mod;    
    }
    for(int i = 1; i <= cnt; i +=2)
        f[x] = f[x] * i % Mod;
    return cnt & 1;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        e[x].push_back(y);
        e[y].push_back(x);
    }
    dfs(1, 0);
    printf("%lld\n", f[1]);
    return 0;
}

• 本文作者： 水蓝络合物
• 本文链接： https://miku39393939.github.io/2021/12/02/Edge-groups/
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