atCoder137C

题目大意

给定一个$n$个数的集合，Alice和Bob轮流操作,Alice先操作，每次选最大的数，将其减少任意值，再放回集合(需一直满足集合中元素互不相同的规定)，集合中的数$a_i \ge 0$。谁先不能操作，谁就会输掉游戏输掉。

给定$n, a_i$,问谁会获胜。

原题链接

思路

这是一道相当妙的博弈论，这个游戏是个$ICG$，也就是说，存在必胜策略。我们把数都从小到大排序(每次执行操作后也排序)。

我们假设:

• 先手把$a_n$减少到比$a_{n-1}$小，是必胜策略，那么我们就直接这么做
• 如果先手把$a_n$减少到比$a_{n-1}$小不是必胜策略(也就是必败策略)，且假设$a_n > a_{n-1} + 1$，那我们先手让$a_n = a_{n-1} + 1$,那么后手就只能把$a_n$减少到小于$a_{n-1}$,然而这是个必败策略，也就是说，可以把必败情况给后手，即也是先手必胜。

那么假如$a_n = a_{n-1} + 1$,那么双方的策略就一直是维持$a_n = a_{n-1}$,直到无法操作,因为一旦不满足这个条件，那么另外一方就能利用$a_n > a_{n-1} + 1$这个条件取胜。

那么一直这么做的话，执行最后一步的人会取胜，而执行到最后集合一定是$0,1,2,…,n-1$。且我们发现操作次数其实就是$a_n - (n-1)$，是的，很神奇和其它数无关，因为我们每次减少数，不能和其它数重合，且满足$a_n = a_{n-1}$,也就是说$[0,a_n]$中每个数都会被遍历到，所以其它数在哪都没关系。

那么可执行次数为奇数，先手必胜，否则后手必胜。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxN = 3e5 + 7;

int n, a[maxN];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    if(a[n] - a[n - 1] > 1)
        printf("Alice\n");
    else {
        if((a[n] - (n - 1)) % 2)
            printf("Alice\n");
        else
            printf("Bob\n");
    }
    return 0;
}

• 本文作者： 水蓝络合物
• 本文链接： https://miku39393939.github.io/2022/04/04/atCoder137C/
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